Неэвклидова геометрия ацтеков

Если бы ацтеки знали «Начала» Евклида и труды Пифагора, то их математические изыскания были бы гораздо проще. Но, поскольку древних жителей Средиземноморья и Америки разделяли тысячи километров, древним индейцам пришлось изобретать геометрию самостоятельно. Американским ученым пришлось изрядно попотеть, чтобы разобраться в деталях их счисления.

Народ ацтеков господствовал в центральной Мексике в XIV–XVI веках. Со столицей в городе Теночтитлан на озере Тескоко, они подчиняли себе другие народы и создали уникальную социальную систему, напоминающую античную – со всеми «достижениями» вроде рабства и налогообложения.

Несомненно, для взимания налогов необходим был подробный учёт.

Именно таким было происхождение современной математики, основы которой зародились в Египте, а позже были заимствованы и теоретизированы греками. Ацтеки, видимо, заимствовали свою систему счисления у цивилизации майя, но добились куда большего развития, и их математические документы были признаны самыми совершенными в доколумбовой Америке.

Американский географ Барбара Уильямс и мексиканский математик Мария дель Кармен Хорхе-и-Хорхе разобрались, каким образом древние мексиканцы вычисляли площадь в одном из немногих дошедших до нас документов – Codex Vergara, написанном около 1540 года. Исследование этого источника раньше помогло доказать наличие умножения и деления в математической культуре ацтеков. На этот раз рисунки земельных участков помогли ученым разобраться, каким образом древние вычисляли, а самое интересное, как записывали площадь. Работа опубликована в последнем номере Science.

Для записи чисел ацтеки использовали палочки и точечки. Для регистрации площади – «земляную палочку», тлалкуахутль. Согласно примерным подсчетам и сохранившимся испанским записям эта единица составляет около 2,5 квадратного метра.

Когда ее точности при измерении не хватало, древние, не знавшие дробей, использовали как уточняющие знаки стрелу, сердце, ладонь, кость или руку. Причем ни один из них не добавлялся к записи площади больше одного раза. То, что число относится именно к площади, обозначалось с помощью прямоугольника, обрамляющего черточки, стрелочки и др. символы.

К сожалению, записей самих вычислений «кодексы» до нас не донесли. Дотошные ученые решили самостоятельно вычислить площади всех зарисованных фигур, исходя из документированных размеров, и сравнить полученные значения с записанными полтысячелетия назад.

Полученные значения дали возможность предположить, какими именно методами вычисления пользовалась ушедшая цивилизация Центральной Америки.

Хотя само понятие «угол» и какие-либо методы его измерения у ацтеков отсутствовали, они всё-таки весьма четко различали перпендикуляры. Например, площадь прямоугольных земельных участков всегда вычислялась как произведение соседних сторон.

А вот трапециевидные фигуры обсчитывались как произведение среднего противоположных сторон на боковую. И хотя этот метод давал небольшую погрешность, она была меньше, чем в случае, если бы площадь вычисляли по правилу прямоугольника.

Ученые считают, что подтвердили и правило треугольника, и подход «плюс-минус», когда к сторонам для вычисления добавлялась или вычиталась единица или двойка, а потом они перемножались по правилу прямоугольника. Впрочем, «знание» ацтеками всех этих правил остается на совести ученых, сравнивавших значения площади, полученные разными способами, с записанными.

Что поразило авторов, так это то, что методы вычисления давали большую точность, чем это необходимо в земельных делах.

Конечно, сейчас нельзя судить, что именно стало залогом успеха империи ацтеков, но грамотное налогообложение и правильная документация, безусловно, внесли в него свой вклад. Тут они существенно обогнали европейскую цивилизацию, где еще долгое время империи строились на основе силы, а не экономики.